torsdag 13. februar 2020

Apekatten, Shakespeare og skrivemaskinen


1: Et altomfattende spørsmål

I yngre år grublet jeg ofte over evige, eksistensielle spørsmål: Er universet uendelig? Finnes det flere univers? Finnes det en objektiv virkelighet? Liker hun meg? Finnes det i det hele tatt en virkelighet (eller flere)? Sånne ting. Jeg ser at sånne spørsmål fortsatt drøftes, men det virker ikke som om man er kommet nærmere noen klare svar på de siste femti åra. De Store Spørsmål står stadig i stampe.

Jeg har heller ikke kommet til klarhet med hensyn til virkelighetens beskaffenhet! Likevel vil jeg prøve å belyse en ørliten flik av den altomfattende problemstillingen. For i sånne diskusjoner er det alltid noen som løfter en inntrengende pekefinger og sier: «Hvis universet er uendelig i tid og rom, så vil jo alle tilstander som er mulige før eller seinere inntreffe.» Jeg veit ikke hvem som først formulerte den hårreisende påstanden, men det skulle ikke forundre meg om synderen var en fysiker. Eller i hvert fall en filosof. Begge disse gruppene har det iblant med å formulere store misforståelser som virker intuitivt innlysende, inntil man myser litt nærmere på dem.

Postulatet har en avlegger i en mer konkret påstand: «Hvis en apekatt sitter lenge nok ved en skrivemaskin og trykker taster på slump, vil den før eller seinere skrive Shakespeares samlete verker.» (Opplysning til nye lesere: En «skrivemaskin» er en mekanisk tekstbehandler som tillater deg å skrive rett til papir. Du slipper å gå omvegen gjennom redigering, lagring og utskrift. Genialt!)

Men når jeg ser en bastant påstand som får meg til å stusse, griper jeg min kalkulator. La oss regne!


2: Et ganske enkelt univers

Et uendelig stort univers vil gi rom for uendelig mange forskjellige tilstander. Men vi klarer ikke å regne på slike størrelser som «uendelig». Vi kan ikke en gang dele et knøttlite tall på 0! Vi må snike oss inn på uendeligheten ved å gi en parameter – for eksempel universets utstrekning – en endelig verdi, og så gjøre denne verdien større og større, det vil si la den gå mot uendelig. I vårt tilfelle vil vi finne uttrykk for to forskjellige størrelser: Antall hendelser som lar seg realisere i et endelig univers, h, og antall hendelser som faktisk er mulige i det samme universet, H. Dersom det omtalte postulatet er riktig, må forholdstallet h:H gå mot 1 når universets utstrekning går mot uendelig. Hvis forholdstallet derimot går mot 0, vil postulatet være avvist.

La oss først definere «tilstand». En tilstand er en bestemt konfigurasjon av alle tingene i et univers. Hvis tingene på et bestemt tidspunkt inntar nøyaktig samme konfigurasjon som på et tidligere tidspunkt, er de to tilstandene identiske. Hvis ikke, er de forskjellige.

Det virkelige universet er stort. Derfor lager jeg et et mindre univers; et papirunivers som er lettere å handtere. At jeg bruker en forenklet modell bør ikke bekymre deg: Postulatet er generelt, så da bør det være gyldig i ethvert tenkelig univers.

Mitt tenkte univers har to dimensjoner, «rom» og «tid». Vi starter på et punkt der rommet er to enheter stort, og tida er to enheter lang. Når vi øker tida med en enhet, øker vi også rommet med en enhet. Vi kan se denne utvidelsen som et matematisk uttrykk (det vil si vi lar universet utvides mot uendelig med en enhet om gangen), eller vi kan se utvidelsen som et uttrykk for at universet utvider seg med jevn hastighet. Resultatet er det samme.

Universet inneholder to ting. Hver rom-enhet kan inneholde én, og bare én ting. Å endre plassering av tingene krever én tidsenhet. I mitt første eksempel er de to tingene identiske; dvs de kan bytte plass uten at det betyr at vi får en ny tilstand.

Når vi starter med to romenheter, så er begge enhetene fylt med hver sin ting. Vi har én realisert tilstand h, og én mulig tilstand H. Da er h:H = 1.

Så utvider vi universet til tre enheter. Da øker vi samtidig tida til tre enheter. I løpet av denne tidsenheten kan én tilstand realiseres (en tidsenhet er jo tida det tar å flytte tingene fra én konfigurasjon til en annen). De to tingene kunne vært plassert på tre forskjellige måter: XX0, X0X og 0XX. (0 betegner en romenhet som er tom.) Bare én av de tre mulige tilstandene rekker å bli realisert – tilfeldigheten, Herren Hastur eller den usynlige hånd bestemmer hvilken. Med andre ord: h:H = 1:3.

Tida går. I løpet av neste tidsenhet får vi en situasjon der de to tingene kan plasseres på 6 forskjellige måter: XX00, X0X0, X00X – og så videre. Det vil si at h:H = 6. Dette går i feil retning, hvis du er en tilhenger av den nevnte hypotesen!

La oss se hvor mange tilstander som er realisert i hele universets levetid hittil, sammenliknet med antall mulige hendelser:

Mens universet har eksistert, har det rukket å realisere tre forskjellige tilstander. Antall mulige tilstander i universets levetid har vært 1+3+6 = 10. Så h:H er 0,3.

Lar vi det gå én tidsenhet til, blir antall realiserte tilstander lik 4. Antall tilstander som det ville ha vært mulig å realisere er 20. Det vil si: h:H = 0,2. Og sånn fortsetter det! Når tida (og universets størrelse) går mot uendelig, så går h:H uavvendelig mot 0. Hypotesen er tilbakevist.

Du kan leike deg med forskjellige utgaver av denne modellen. Du kan for eksempel lage en modell der alle tingene er forskjellige; dvs vi får en ny tilstand hver gang to ting bytter plass. I denne utgaven kan du også la antall ting øke like raskt som universet utvider seg. Resultatet er det samme: Når tid og rom går mot uendelig, så går h:H uansett mot 0. Prøv sjøl!

I den sistnevnte utgaven kan du for eksempel se for deg at rommet er blitt 100 enheter stort og tida 100 enheter lang. Hvis alle ting i dette universet er forskjellige, kan de ordnes etter hverandre i 100*99*98* .... *3*2*1 forskjellige rekkefølger. Av disse blir bare 1 realisert. Og når universet vokser til 101 enheter... Regn sjøl.


3: Et litt mer komplisert univers

Skal vi driste oss til å regne litt på det virkelige (?) universet? Det skal vi. Dristighet, vær min venn!

Ingen har klart å telle hvor mange ting som finnes i i universet. Men fysikkprofessor Tony Padilla har regnet på det, og han kom til at det finnes 3,28*1080 partikler. Da regnet han ikke med fotoner, nøytrinoer og annet smårusk. Det gjør derimot mange andre nettkilder. Du finner flere svar jo lenger du leiter, men flere kilder oppgir ca 1086 nøytrinoer og enda mange flere fotoner. Men jeg forenkler og skjærer igjennom. Jeg ser bort fra alle partikler som bare finnes i små mengder. Jeg ser bort fra de uhorvelige mengdene med fotoner. Jeg later som om universet bare inneholder nøytrinoer, og sannelig min katt later jeg som om alle nøytrinoene er like også. Det er de jo slett ikke, hvis du spør en fysiker.

I min svært forenklete utgave av det virkelige (?) univers finnes det altså 1086 ting. Eller, om du vil ha det på den slitsomme måten: 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ting. Alle disse tingene er nøytrinoer, og alle nøytrinoer er like.

Så har jeg også sett helt bort fra sånne ting som kanskje og kanskje ikke finnes i mørk materie og mørk energi. Mørk materie ble jo oppfunnet for å forklare hvorfor galaksene roterer mye raskere enn de burde, husker du. Og mørk energi ble i sin tur oppfunnet for å forklare hvorfor universet utvider seg stadig raskere. Mørk materie antas å utgjøre omtrent tre ganger så mye masse som vanlig materie, og mørk energi antas å utgjøre omtrent tre ganger så mye masse som mørk materie og vanlig materie tilsammen. Med andre ord; jeg ser bort fra det aller, aller meste som universet antas å bestå av. Likevel blir bildet ganske komplisert. Livet er ikke enkelt.

En digresjon: Ingen veit hva mørk materie består av. Og absolutt ingen veit hva mørk energi består av. Vi trudde lenge at universet bare ville utvide og utvide seg. Stjernene ville brenne ut, og til slutt sitter vi igjen med med en kald og homogen uendelighet av nesten ingenting: Ingenting mer skjer. Ingenting kan skje. En stusslig slutt, kjent som universets varmedød (se også «Termodynamikkens 2. hovedsetning».) Men nå har jeg lest at avhengig av hvordan mørk energi oppfører seg, kan universets varmedød avlyses og erstattes av: Enten et univers hvor tid og rom slites i stumper og stykker, et univers som faller sammen igjen i et omvendt Big Bang, eller et univers som splintres i massevis av nye universer med nye naturlover. Flere endelige skjebner kan sikkert tenkes, så snart teoretiske fysikere får summet seg. Og den som lever (en trillion år) får se.

Nøktern som jeg er, så holder jeg meg til den delen av universet som vi veit noe om, nemlig vanlig materie. Sia den består nesten utelukkende av nøytrinoer (bortsett fra fotoner), er det nøytrinoer jeg vil regne på. Hvis du vil, kan du godt regne på et mer komplekst univers sjøl.

Det kjente univers er 13,8 milliarder år gammelt og utvider seg (nesten) med lysets hastighet. Derfor er det 13,8 milliarder lysår til kanten av universet. Og uansett hvor du befinner deg i det kjente univers, så er det akkurat like langt til kanten – 13,8 milliarder lysår. Hvordan i all verden kan det ha seg, spør du? Spør ikke meg, for jeg skjønner det heller ikke. Spør Einstein.

Hvor mange posisjoner ville det være mulig for én nøytrino å innta i dette universet, uten at det bryter noen (kjent) naturlov? Jeg kjenner ikke til at det er noen teoretisk grense for hvilken posisjon en slik beskjeden partikkel kan innta. (Opps. Bølge. Den blir en partikkel i det øyeblikket du observerer den, men det gjør du jo nesten aldri.) Med andre ord; hver av de 1086 nøytrinoene kunne befinne seg hvor som helst i universet, uten å komme i konflikt med vedtatte lover og forskrifter.

Men vi må begrense oss. Den korteste lengden som fysikere liker å regne med er Planck-lengden; 1,6*10-35 meter. Så la oss anta at innafor et volum på en kubikkPlanck-lengde er det plass til en, og bare en, nøytrino. Det korteste tidsintervallet de samme fysikerne liker å regne med er Planck-tida – 5,4*10-44 sekunder. De to henger sammen; Planck-lengden er den avstanden lyset tilbakelegger i løpet av Planck-tida. Sia dette er de minste størrelsene for avstand og tid som finnes på den kvantemekaniske kalkulatoren, kan du godt kalle dem et lengdekvant og et tidskvant. Men ikke mens en kvantefysiker hører på, for da blir hun sint.

Mellom hver gang en nøytrino bytter plass går det et Planck-intervall. Flere nøytrinoer kan gjerne bytte plasser samtidig.

Oppsummert: Innafor et kubikkPlanck-lengde kan det på et gitt tidspunkt befinne seg en, og bare en, nøytrino. (Eller 0. De fleste kubikkPlanck-lengder er tomme.) Hver fordeling av universets 1086 nøytrinoer utgjør en tilstand, og overgangen fra én tilstand til en annen krever et Planck-intervall.

For alle praktiske formål kan vi regne alle nøytrinoer som identisk like. Nå finnes det visstnok flere slag av dem, og hver nøytrino har dessuten sine individuelle bevegelsesvektorer, men nok en gang er det mitt privilegium å gjøre verden enklere.

Universet er som sagt 13,8 milliarder år gammelt. Det betyr at vi har lagt bak oss 8,06*1060 Planck-intervaller. Samtidig har universet rukket å få et volum på 8,25 * 1030 kubikklysår. (Jeg ser bort fra rommets krumming, for det klarer jeg ikke å regne på.) Det utgjør ca 1,69*10183 kubikkPlanck-lengder.

Vi antar som sagt at hver kubikkPlanck-lengde har plass til en, og bare en, nøytrino i løpet av et Planck-intervall. Og hvor mange måter kan vi fordele 1086 nøytrinoer på 1,69*10183 kubikkPlanck-lengder på?

Nøytrino nr 1 kan plasseres på 1,69*10183 forskjellige måter. Da kan nøytrino nr. 2 plasseres på 1,69*10183 minus 1 forskjellige måter. Det fører til at nøytrino nr 3 kan plasseres på 1,69*10183 minus 2 forskjellige måter – og så videre, opp til nøytrino nr 1086. - Du kan velge 1086 av 1,69*10183 mulige nøytrinoposisjoner på i alt (1,69*10183!)/((1,69*10183 - 1086 )! * 1086 !)) forskjellige måter. (! betyr «fakultet», altså produktet av alle heltall fra 1 til det øverste tallet. (1,69*10183)!, for eksempel, blir 1*2*3*4* .... ( 1,69*10183 -2) * ( 1,69*10183 -1) * 1,69*10183.) Vi ser intuitivt at hele brøken blir et stort tall.

Jo jo. Men evigheten er lang, universet utvider seg, og nye muligheter oppstår. Hva skjer når universets radius øker med – for eksempel – en Planck-lengde?

Det skal jeg si deg! En Planck-lengde tilsvarer nøyaktig 1 Planck-intervall. Utvides radien med 1 Planck-lengde, kan universet altså realisere 1 ny tilstand. Samtidig øker universets volum med 8,33*10122 kubikkPlancklengder. I løpet av dette ene Planck-intervallet blir altså forholdet mellom alle realiserte tilstander og antall mulige tilstander ... - du ser hvor dette bærer hen?

Altså: Også i denne svært forenklete utgaven av det virkelige (?) univers er vi nødt til å skrinlegge postulatet. Som du veit fra ditt eget liv: Verden åpner for mange muligheter, men få av dem blir til virkelighet.


4: Apekatten, Shakespeare og skrivemaskinen

Men hvordan går det med den stakkars apekatten som sitter og trykker på helt tilfeldige taster, og håper å komme seg gjennom Shakespeares samlete verker? La oss kalle ham Julius, etter keiseren av samme navn. Da føler vi liksom at han er en person; en vi kan forholde oss til.

Ifølge én kilde inneholder Shakespeares skuespill 835.997 ord tilsammen. Jeg har ikke prøvd å telle antall karakterer (store og små bokstaver, tall, mellomrom, linjeskift, spørsmålstegn etc) i skuespillene hans. Men når jeg slår opp på tre tilfeldige sider i min utgave av Shakespeares samlete (trykt i Romania på 60-tallet – der trykte de bøker på godt papir for en billig penge, slik at den mektigste kommunistpampen kunne bygge seg et representativt presidentpalass), så finner jeg et gjennomsnitt på litt over fem tegn pr. ord. Husk at også engelsk har mange småord som binder sammen de multisyllabelistiske. (Hah, den satt!)

Så la oss si, grovt regnet, at alle skuespillene til verdenshistoriens betydeligste forfatter inneholder 4,2 millioner tegn. Stakkars Julius har rundt regnet 70 tegn å velge mellom hver gang han skal knakke på tastaturet. Men han har et lyst og muntert sinn og en positiv holdning til jobben, så han setter seg ned og skrider til verket.

Tegn nummer 1 velges tilfeldig blant de 70. Tegn nummer 2 velges tilfeldig blant de 70. Tegn nummer... helt til tegn nr 4.200.000. Sjansen for at samtlige tegn tilfeldigvis skal stemme med Shakespeares tekst er 1/70 * 1/70 * 1/70 * ... *1/70 – 4,2 millioner ganger.

Eller nærmere bestemt 1:107750000, hvis kalkulatoren på mobilen min fortsatt henger med. Forventningsverdien av antall forsøk Julius trenger for å komme i mål er halvparten av 107750000. Hvor lang tid trenger han?

Julius er flink og rask og skriver ett tegn pr. sekund i gjennomsnitt over medgått tid. (Husk at også apekatter har regulert arbeidstid – de trenger ferie, de må sove og spise, de  har krav på krafse- og snerrepauser). Han får unna en tekstmengde lik alle Shakespeares skuespill på litt under 50 døgn. Øvelse gjør mester! Han trenger bare 107750000/2 forsøk, så kommer den riktige teksten ut. Kanskje. 25 døgn ganger et ett-tall etterfulgt av 7,750 millioner nuller.

Dette tallet er så nær opp til uendelig som hodet mitt klarer å komme. Ord som «fantasillioner» blir små og stusslige. Julius blir ikke ferdig i løpet av sin egen, Jordas, Solas eller universets levetid. Det trengs nok noen millioner etterfølgende universer også, derav kanskje noen med helt andre regler for sannsynlighetsregning.

I vårt eget univers må vi konkludere med at Shakespeares skuespill neppe er blitt til ved en tilfeldighet.

Ingen kommentarer:

Legg inn en kommentar